习题 15, § 8

(a) 令$K$为域，$v_1, v_2$分别对$K$和$K_1, K_2$完成$K$相对于$v_1$和$v_2$的两个独立评估（§ 7, no. 2）。令$L_1, L_2$是两个域，使得$K \subset L_1 \subset K_1, K \subset L_2 \subset K_2$，它们是Henselian的（扩张分别通过$v_1$和$v_i$的连续性）。令 $g_1 \in L_1[X], g_2 \in L_2[X]$ 为具有相同次数 $n$ 的两个可分离多项式。证明存在一个多项式 $h \in K[X]$，在 $L_i[X]$ 中，分解 (习题 12 (c)) 的型与 $g_i$ ($i = 1, 2$) 相同。 （约化对于$g_1$和$g_2$在$K[X]$并且是单调的情况；考虑多项式

其中 $v_1(a) \leq 0, v_2(a) > 0$ 是任意大，$v_1(b) > 0$ 是任意大。）

(b) 由 (a) 推导出，如果 $K$ 与 $v_1$ 是汉森矩阵，$L_i$ 的代数闭包在 $L_i$ 上是根式，$K_2$ 是代数闭的（取 $g_2$ 为不可约，$g_1 \in K[X]$ 为$n$的乘积与素数次数不同的因子）。

(c) 由(b)推导出，如果$K$与$v_1$和$v_2$是Henselian，则$K$的代数闭包是$K$的根。

(d) 证明，如果 K 是具有离散估值 v 的 Henselian，则 K 不能的代数闭包是 K 的根式，因此 K 不能是具有独立于 v 的任何估值的 Henselian（使用代数、章 V, § 11、习题 12）。