习题 6, § 8

令 K 为域，v 为 K 的估值，A 为 v 的环。

(a) 假设 A 是 Henselian (章 III, § 4, 习题 3)，在这种情况下，我们也滥用语言说 K 是 v* 的 *Henselian。那么，对于 K 的每个代数扩张 L 以及在 L 上延伸 v 的每个估值 v'，v' 的环 A' 都是汉森算式（章 III, § 4，习题 4）。

(b) 如果 K 与 v 完整且 v 的高度为 1，则 A 是 Henselian 的。给出例，其中 K 与 v 是完整的，并且 v 的高度为 2，但 A 不是 Henselian (cf. 习题 1)。

(c) 如果 K 与 v 线性紧致，则证明 K 是 Henselian。 （在章 III, § 4、习题 3 的记号条件 (H) 中，令 $\mathscr{L}$ 表示按包含顺序排序的 A 素理想的集合和 $\mathfrak{L}$ 集合有序对 ($\mathfrak{B}_+$)，其中$\mathfrak{B}$是从$\mathfrak{B}$到集合$A[X] \times A[X]$的$\mathscr{L}$和$\phi : p \mapsto (Q_p, Q'_p)$映射的井有序子集（相对于关系$\supset$），具有以下属性： (1) Q，和 $Q'_p$ 分别是次数 $\deg(\overline{Q})$ 和 $\deg(\overline{Q'})$； (2) 如果 p $\supset q$ 是 $\mathfrak{B}$ 中的两个元素，则多项式 $Q - Q_p$ 和 $Q'_p - Q'_a$ 属于的系数为p； (3) $P - Q_p Q'_p$ 属于到 p； (4) $\tilde{f}(Q_p) = \overline{Q}$，$\tilde{f}(Q'_p) = \overline{Q}'$。 当$\mathfrak{B} \subset \mathfrak{B}'$和$\phi'$是$\phi$到$\mathfrak{B}'$的扩张时定义对$\mathscr{L}$按设定$(\mathfrak{B}, \phi) \leq (\mathfrak{B}', +')$排序。证明$\mathscr{L}$承认极大元素$(\mathfrak{B}_0, \phi_0)$并且$\mathfrak{B}_0$最后一个元素等于(0)：根据$\mathfrak{B}_0$是否有最后一个元素，考虑两种情况，得到相反的矛盾；在前一种情况下，如果 p 是最后一个元素，则考虑元素 c $\in A$，使得 $v(c)$ 是 v 在 $P - Q_p Q'_p$ 系数的集合上采用的最小值以及包含 c 的最小素数理想 p'；如果 $p' = p$，则使用 § 4 的习题 2 (a)，并且线性紧致模与闭集子模的商是线性紧致的，因此是完备的。 相反，如果$\mathfrak{B}_0$没有最后一个元素，则直接使用假设，A是线性紧致的。）

(d) 在习题 5 的记号中，证明要使$A$ 是亨塞尔式的，$A'$ 和$A$ 是必要且充分的。 （注，如果$P \in A'[X]$，则存在$a \in A$使得$a^n P(X/a) \in A[X]$（其中$n$是$P$的次数）；验证章III, § 4的公理（H），习题3 $A'$，注意力可能仅限于$A[X]$的多项式；使用$A' = A_p$的事实，其中$p$是包含在最大理想$m$中的$A$的素理想，并且注，如果$(A/p)[X]$中的两个多项式是强互质的，那么他们的像在$(A/m)[X]$。）

(e) 假设 $A$ 是 Henselian；那么，对于$K$的每个代数扩张$L$，仅存在（直到等价）对$L$延伸$v$的一个估值。 （如果 $P \in A[X]$ 是一元不可约多项式，$x_i$ ($1 \leq i \leq m$) $P$ 在其分裂域 $N$ 中不同的根，表明，对于延伸 $v$ 的 $N$ 上的每个评估$v'$， $v'(x_i)$ 对于 $1 \leq i \leq m$ 都是相等的。）相反，如果环 $A$ 有这个性质，它是汉森式的（观察到，在 $L$ 中 $A$ 的积分闭包 $A'$ 中，上面只能存在一个最大理想$m$(章V, § 1，习题13)和结论，如果$P \in A[X]$是一个单调不可约多项式，其$(A/m)[X]$不能中的像是两个互素的乘积多项式）。