习题 19, § 2

如果$D(A)$（$§ 1$，习题 11）的有限生成的除子中的集合是*群*，则整环$A$称为*伪Priiferian*。伪Priiferian域是规则积分闭的（$§ 1$，习题29）。伪 Bezoutian 域 ($§ 1$, 习题 21) 是伪 Priiferian； Priiferian 域是伪 Priiferian； Krull 域是伪Priiferian 域。

(a) 通过例证明最后三个断言中的逆命题不一定为真。

(b) 令$\theta$为无理数数$> 0$和$\Gamma$群$\mathbf{R}^2$，通过取有序对$(a, \beta)$的集合进行排序，使得$a \geq 0$和$\beta \geq \theta a$为正元素的集合；有序的群$\Gamma$是一个完整的格子。令$B$为通过$§ 1$、习题22的过程从$\Gamma$导出的伪主域，并令$A$为$B$的子环交和$k$的代数子群$\mathbf{Q}^2$共$\mathbf{R}^2$。证明$A$是全积分闭域但不是伪Priiferian（注，如果$K$是$A$分数域和$A$可逆元$U$群，有序的群 $K^*/U$ 与群 $\Gamma \cap \mathbf{Q}^2$ 同构的，由 $\Gamma$ 上的排序引起的排序）。

(c) 如果域 $\mathbf{A}$ 是伪普鲁弗式，则证明多项式域 $\mathbf{A}[X]$ 是伪普鲁弗式 (cf. § 1, 习题 30 (c))。

(d) 令$\mathbf{A}$为伪普鲁弗域，$\mathbf{K}$为分数的域。证明$\mathbf{K}$的代数扩张$\mathbf{L}$中$\mathbf{A}$的积分闭包$\mathbf{B}$是一个伪普鲁弗域（习题16的方法，使用§ 1，习题29 (一))。

(e) 从递增序列 $(\mathbf{A}_i)$ 的 § 1 例的习题 30 (d) 推导出与分数的域相同的阶乘域，其中并不是正则积分闭域（也不是*更不必说*伪普鲁弗域）（在例引用中，将$\mathbf{B}$视为离散估值环）。 \*