习题 25, § 3

设$k$为特征2的域，形式上的幂级数$k[[X, Y]]$$B$环，$E$分数和$A$其域 $k$-由$\Delta(X) = Y^{2j}, \Delta(Y) = X^{2i}$定义的$E$的推导（$i, j$整数$\geqslant 0$）； $x \in B$的$B$由……组成的子环$A$，使得$Ax = 0$是$k[[X, Y, Z]]$中正式幂级数的环，其中$X^2$被替换$X$、$Y^2$ 对应$Y$，$X^{2i+1} + Y^{2j+1}$ 对应$Z$。

(a) 证明维数$N(i, j)$的群$C(A)$包含向量空间超过$k$等于整数$(a, b)$的有序对数，使得$0 \leq a < i, 0 \leq b < j$ 和 $(2j+1)a + (2i+1)b \geq 2ij$。 （使用习题 23（b）和习题 24（a），注，$L$中的元素是正式的幂级数$F \in B$，使得$AF = F^2$；归因于$X$ 权 $2j+1$ 和 $Y$ 权 $2i+1$，将 $F$ 分解为无限和等量多项式；如果 $L_r$ 是子群 $F \in L$的$L$由……组成其同量异位组分为权$\geq q$，$L/L'$与群$C_q/C_{q+1}$的直和同构，其中$C_q = L_q/(L' \cap L_r)$； 计算这些群代表 $q \geq 4ij$、利用习题 24 (b)。）

(b) 证明$A$的理想$AX^2$是素数；如果 $A' = A[X^{-2}]$，则推断 $C(A')$ 和 $C(A)$ 同构的（no. 4，命题 3）。证明$A'$是戴德金域（考虑环$B' = B[X^{-2}]$，它是$A'$和主理想整环的积分，并使用章V, § 2, no. 4、定理3）。推导出理想类群无穷大的 Dedekind 域的例。