习题 10, § 4

设$A$为交换环。对于有限生成的自由$A$-模块$L = A^n$的每个子模$R$，让$c_1(R)$表示由$(x, x^*)$生成的理想，其中$x$穿过$R$，$x^*$穿过对偶$L^*$；将$c_k(R) = c_1(\mathrm{Im}(\bigwedge^k R))$、$\mathrm{Im}(\bigwedge^k R)$写为$\bigwedge^k L$中$R$的第$k$外部幂的典范像。如果$R_1, R_2 \subset R$是$L$中的两个子模，则$c_k(R_1) \subset c_k(R_2)$等于所有$k$。

(a) 令 $M$ 为有限生成的 $A$ 模块； $M$ 与商模 $L/R$ 同构，其中 $L = A^n$ 是合适的 $n$。证明理想 $(a_k)_{k \geq 0}$ 的序列，使得 $k \leq n$ 的$a_k = c_{n-k}(R)$ 和 $k > n$ 的 $a_k = A$ 与形式 $L/R$ 中$M$ 的表达式无关。 （首先考虑$L/R$和$L/R'$同构的情况；然后考虑注，对于所有$h > 0$，$A^n/R$与$A^{n+h}/(R \times A^h)$同构。）我们为所有$k \geq 0$写出$d_k(M) = a_k$，并说这些是与$M$。然后$d_k(M) \subset d_{k+1}(M)$换$k \geq 0$。

(b) 如果 $A$ 是主理想整环和 $M = L/R$，其中 $L$ 是自由且有限生成的，则证明理想 $c_{k+1}(R)(c_k(R))^{-1}$ 是 $L$ 中 $R$ 的不变量因子。

(c) 令$r = \gamma(M)$为系统、生成元、$M$的最小基数，并令$r_0$为最小整数$h$，使得$d_h(M) = A$。显示$r_0 \leq r$并给出例，其中$r_0 < r$（将$A$作为戴德金域）。

(d) 如果$a$是$M$的湮没子，则证明$d_0(M) \subset a$和$a^{r-k} \subset d_k(M)$对于$k \leq r = \gamma(M)$。

(e) 假设$M$是子模$M_i$($1 \leq i \leq h$)中的直和。表明

其中和超过有限序列$(k_i)_{1 \leq i \leq h}$，使得$\sum k_i = k$。

(f) 如果$N$是$M$的有限生成子模，则$d_k(M/N)^{i=1} \subset d_k(M)$适用于所有$k \geq 0$。表明：

(g) 令$K$为域、$A$多项式环$K[X, Y, Z]$、$m$极大理想$AX + AY + AZ$以及$q$由$X, Y^2, YZ$和$Z^2$生成的理想。考虑 $A$-模块 $M = A/q$ 及其子模 $N = m/q$。显示 $d_0(M) = q$、$d_1(M) = A$、$d_0(N) = m^2$ 和 $d_1(N) = m$。