习题 14, § 4

令$G$为群，且$H$子群等于$G$。 $G$ 的任意子集 $T$ 满足每个左陪集模。 $H$中唯一的一个点被称为左陪集模的代表系统。 $H$（cf.集合理论，II, § 6, no. 2）；这个条件等价于： 映射 $(x, y) \mapsto xy$ 是 $T \times H$ 的双射到 $G$。 (a) 设$T$为系统；对于所有$g \in G$和所有$t \in T$，令$x(g, t) \in T$和$y(g, t) \in H$满足$gt = x(g, t)y(g, t)$。设$S$为$G$生成的$G$中的子集。显示元素 $y(g, t), g \in S, t \in T$ 生成 $H$。 （如果$H'$表示由这些元素生成的$H$的子群，则表明$T.H'$在$\gamma_g, g \in S$下稳定，因此也在$\gamma_g, g \in G$下稳定，并推断出$T.H' = G$，从而 $H' = H$。） (b) 假设 $(G:H)$ 是有限的。证明$G$ 可以由有限子集生成当且仅当$H$ 可以。