习题 10, § 6

设 G 为阶 $mn$ 的可解有限群，其中 m 和 n 没有公共的素数因子。证明存在阶 m 的 G 的子群 H，并且 G 的每个子群其阶除 m 都包含在 H 的共轭中（“Hall 的定理”）！

（通过 G 的阶上的归纳进行论证。如果 $mn \neq 1$，选择 G 的交换律子群 A，它是正规且不等于 $\{e\}$，并且其阶 a 是素数数的幂。应用此根据除 m 或 n，归纳假设到 $G/A$ 以及 $(m/a, n)$ 或 $(m, n/a)$ 在第二种情况下，使用习题 9 从 $G/A$ 传递到 G。）

† 这里再次可以证明两个这样的截面是共轭、cf. Feit 和 Thompson，Proc。纳特。阿卡德。科学，美国，48，1962，968–970。