习题 15, § 1

(a) 令$a$为李代数，$a$的$b$子代数，$c$为$b$的理想，$z$为$a$中$c$的中心化子。然后$[z, b] \subset z$。推断$b + z$是$a$的子代数，其中$z$是一个理想。 (b) 令$g$为李代数，$a$为$g$的次不变量子代数，而$b$为$a$的理想。如果$a$中$b$的扶正器和$g$中$a$的扶正器为零，则$\mathfrak{g}$中$\mathfrak{b}$的扶正器$\mathfrak{z}$为零。 （设 $\mathfrak{h} = \mathfrak{a} + \mathfrak{z}$，通过 (a) 等于子代数；$\mathfrak{a}$ 在 $\mathfrak{h}$ 中是次不变的；如果 $\mathfrak{z} \neq \{0\}$，则 $\mathfrak{a} \neq \mathfrak{b}$，因此 $\mathfrak{a}$ 是 $\mathfrak{a}'$ 中的理想，与 $\mathfrak{a} \neq \mathfrak{a}' \subset \mathfrak{h}$；令$a' \in \mathfrak{a}'$、$a' \notin \mathfrak{a}$ 和 $a' = a + z$、$a \in \mathfrak{a}$、$z \in \mathfrak{z}$、$z \neq 0$；表明 $[z, a]$ 包含在 $\mathfrak{a}$ 中，并与 $\mathfrak{b}$、从而 $[z, a] = \{0\}$ 进行通勤，给出矛盾。）

(c) 设$\mathfrak{g}$为李代数和$\mathfrak{g}$推导中心零、$\mathfrak{D}_1$李代数、$\mathfrak{D}_1$推导$\mathfrak{D}_2$李代数，…… $\mathfrak{g}$ 与理想$\mathfrak{D}_1, \mathfrak{D}_1$ 和理想$\mathfrak{D}_2, \ldots$ 相同（cf. 习题 12 (b)）。使用 (b) 和习题 12 (b)，证明对于所有 $i$，$\mathfrak{D}_i$ 中$\mathfrak{g}$ 的中心化器是零。 （对于这个习题，cf.§ 4，习题15的续集。）