习题 20, § 1

令$g$为李代数超过环$K$，使得$pK = \{0\}$（$p$素的）。 如果满足关系，$g$到自身的映射$x \mapsto x^{[p]}$称为$p$映射

对于$g$和$\lambda \in K$中的$x, y$。 $K$上的*李$p$代数*是集合，其中结构是通过在$K$上给出李代数结构和$p$映射来定义的。 $K$ 上的每个结合律代数都是具有 $[x, y] = xy - yx$ 和 $x^{[p]} = x^p$ (习题 19) 的李$p$-代数。将谎言 $p$-代数 $g$ 转化为谎言 $p$-代数 $g'$ 的映射 $u$ 被称为 $p$-同态 如果 $u$ 是李代数同态和$u(x^{[p]}) = (u(x))^{[p]}$。证明在谎言 $p$-代数 $g$ 中，每个 $p$ 映射都是形式 $x \mapsto x^{[p]} + f(x)$，其中 $f$ 是 $g$ 的映射到其中心，这是半线性的自同态 $\lambda \mapsto \lambda^p$ 共 $K$。更一般地，如果 $u$ 是 $g$ 的同态到李$p$-代数 $g'$，则 $u(x^{[p]}) - (u(x))^{[p]}$ 属于到 $g'$ 的中心。