习题 13, § 5

设$g$为李代数，且$g$的推导为$\mathfrak{D}$李代数。为了使$g$具有特征幂零，$\mathfrak{D}$是幂零且$\dim g > 1$是充分必要的。 （要查看条件就足够了，请将$g$写为子空间$g^\lambda$的和、应用习题12到$\mathfrak{D}$的恒等映射。证明$[g^\lambda, g^\mu] \subset g^{\lambda+\mu}$和每个$g^\lambda$是 $g$ 的理想。 推出 $g^\lambda$ 对于 $\lambda \neq 0$ 是可交换的。再次使用 $\mathfrak{D}$ 是幂零的事实，证明 $g = g^0$ 如果 $\dim g > 1$。否则 $g = g^0 \times h$，其中 $h$ 是可交换的。 $\dim h \leq 1$。如果$\dim h = 1$，注，则存在$g$的推导 D，使得$D(g^0) = \{0\}$和$D(h)$包含在$g^0$的中心中（§ 4，习题 8） （一））。）