习题 1, § 6

令 $g$ 为半单李代数，且 $M$ 上 $g$ 的 $\rho$ 有限维表示。

(a) 如果 $\rho$ 是简单且非零的，则 $H^p(g, M) = \{0\}$ 对于所有 $p$。 （§ 3 的应用命题 1 和习题 12 (j)。）

(b) 对于所有$\rho$，$H^1(g, M) = \{0\}$。 （如果$\rho$是简单且非零，则应用（a）。如果$\rho$是零，则使用$g = \mathscr{D}g$这一事实。一般情况下，通过归纳对$\rho$的维数进行论证：如果$N$是$g$的子模块$M$ 与 $\{0\}$ 和 $M$ 不同，使用正合序列：

在§ 3的习题12(f)中成立。）因此恢复no. 2的注2。

(c) 从 (b) 定理 2 的证明推出。（使用 § 3 的习题 12 (g)。） 还从 (b) 推出 $g$ 的每个推导都是内部。 （使用 § 3 的习题 12 (h)。）

(d) 对于所有$\rho$，$H^2(g, M) = \{0\}$。 （对于（b）的争论，只要考虑$\rho = 0$的情况就足够了。 让$c \in H^2(g, M)$。 考虑，继§ 3的习题 12 (i)之后，$g$的中心扩张$h$由$c$定义$M$。 $h$ 上$g$ $h$ 定义表示的伴随表示。 到定理 2，$M$承认$h$补充，它在$g$下是稳定的，因此扩张是微不足道的。 因此 $c = 0$ 除习题 12 (i) of § 3。）

(e) 由(b)和(d)推导出定理 5 的证明。（如文中所示，可以简化为部首可交换的情况。）