习题 11, § 4

令$H$为$G$的子群，令$m$为整数$\geq 1$。假设$G$由族$(x_i)_{i \in I}$生成，使得$x_i^m \in H$适用于所有$i$。 (a) 让 $H$ 被赋予由 $G$ 上的过滤 $(C^n G)$ 引起的过滤，并让 $\operatorname{gr}(H)$ 被识别为 $\operatorname{gr}(G)$、cf. 习题的分级谎言子代数 2. 证明，对于所有 $n \geq 0$，

推断出，对于所有 $z \in H$、$C^n G$、$z^m \in H$、$C^{n+1} G$。 (b) 如果$G$是幂零的，证明存在整数 $N \geq 0$（仅取决于$G$的幂零类），使得$z^{m^N} \in H$对于所有$z \in G$。