习题 3, § 4

令$(H_\alpha)$为群$H$的真实过滤，令$v_H$为相应的阶函数。假设$G$对左侧的$H$进行操作，并且对于所有$g \in G$，映射$h \mapsto g(h)$是过滤后的群$H$的自同构。

(a) 如果$\alpha \in \mathbf{R}$，我们用$G_\alpha$集合 of $g \in G$表示，这样

证明$(G_\alpha)$ 是$G$ 的真实过滤，并且如果$\alpha \leq 0$ 则证明$G_\alpha = G$。让$v$表示相应的阶函数。

(b) 假设过滤 $(H_\alpha)$ 位于中央，$G_0^+ = G$。证明$(G_\alpha)$是$G$的中央过滤。如果$\xi \in \operatorname{gr}_\alpha(G)$和$\eta \in \operatorname{gr}_\beta(H)$，则设$g$（$h$）为$\xi$（$\eta$）在$G_\alpha$（$H_\beta$）中的代表；证明$\operatorname{gr}_{\alpha+\beta}(H)$中$h^{-1}g(h)$的像独立于$g$和$h$的选择；如果用$D_\xi(\eta)$表示，证明$D_\xi$可以扩展到李代数$\operatorname{gr}(H)$或次数$\alpha$的推导，$\xi \mapsto D_\xi$是李代数的同态 $\operatorname{gr}(G)$ 变为李代数推导 $\operatorname{gr}(H)$。如果$v_H(H) \cap \mathbf{R}$包含在$\mathbf{R}$的离散子群$\Gamma$中，$v(G) \cap \mathbf{R}$也是如此，并且对于所有$\alpha \in \mathbf{R}$，上面定义的映射$\xi \mapsto D_\xi$是单射的。