习题 1, § 5

假设$K = \mathbf{R}$。令$r$为整数$\geq 1$或$\infty$。 类* $C^r$ 的 *群是集合 $G$，其中群结构和流形结构为类 $C^r$，使得映射 $(x, y) \mapsto xy^{-1}$ $G \times G$ 到 $G$ 的大小为类 $C^r$。

(a) 假设从此以后$r \geq 2$。 $G$中的$e$的邻域与Banach空间中的$0$的邻域进行识别。设$xy = P(x, y)$，其中$P$是类$C^2$的映射在$(0, 0)$的开邻域上。让

表明

如$(x, y) \to (0, 0)$。 （使用阶 2 的 P 的展开并保留整数余数。） (b) 证明

因为 $(x, y)$ 趋于 $(0, 0)$。