习题 17, § 6

(a) 令 $G, \overline{G}, G_0$ 如习题 16 (b) 所示。令$V$是有限维复数向量空间，$\rho$是$G_0$在$V$上的不可约线性表示。证明存在有限维复数向量空间 $X, Y$，$X$（分别$Y$）上$G$（分别$\overline{G}$）的解析不可约线性表示 $\sigma$（分别$\tau$）和$V$的同构到$X \otimes Y$，其中变换$\rho$到$\sigma \otimes \tau$。 （使用习题 16 (a)、章 I, § 2 的命题 2，以及代数、章 VIII, § 7 命题 8 的推论。）

(b) 证明如果我们省略假设 $G$ 是单连通的，则 (a) 的结论不一定成立。 （考虑复杂的李群 $\mathbf{C}^*$。）