习题 1, § 1

a) 令$(W, S)$为Coxeter系统，令$s_1, \ldots, s_r$为$S$的元素。输入$w = s_1 \ldots s_r$。证明如果$l_S(w) < r$，则存在两个整数、$p$和$q$以及$1 \leq p < q \leq r$使得$w = s_1 \ldots s_{p-1} s_p + 1 \ldots s_{q-1} s_q + 1 \ldots s_r$。证明 1 和 $r$ 之间存在整数 $j(1), \ldots, j(k)$ 的严格递增的序列，使得 $(s_{j(1)}, \ldots, s_{j(k)})$ 是 $w$ 的减少的分解。

b) 令 $(W, S)$ 为 Coxeter 系统和 $X, Y, Z$ $S$ 的三个子集。表明

（表明每个元素 $w \in W_Y . W_Z$ 都有一个减少的分解 这样 $s_i \in Y$ 和 $t_j \in Z$ 并使用 Cor. no. 8第 7 号提案 1）。 表明