习题 13, § 1

令 $(W, S)$ 为 Coxeter 系统。对于 $s, s' \in S$、定义序列 $\mathbf{a}(s, s')$ 通过以下规则：

(i) 如果$ss'$是无限的阶，则$\mathbf{a}(s, s')$是空的序列； (ii) 如果 $ss'$ 是有限的阶 $m$ 序列 $\mathbf{a}(s, s')$ 是长度 $m$ 并且其偶数（或奇数）编号项等于 $s'$（或$s$）。

用序列$\mathbf{a}(s, s')$的$a(s, s')$乘积表示。

a) 证明生成的集合 $S$ 和关系 $s^2 = 1$ 和 $\mathbf{a}(s, s') = \mathbf{a}(s', s)$ 形式群 $W$ 的呈现。

b) 设$q$为整数$\geqslant 1$。令$\Sigma_q$为$S$的$q$元素的序列集合，令$R_q$为$\Sigma_q$上的最小的等价关系，其中序列为形式$(A, \mathbf{a}(s, s'), B)$和$(A, \mathbf{a}(s', s), B)$（其中$s, s' \in S$和$A$和$B$是$S$的元素的序列）是等价的。令$\Sigma_q^r$为序列$s = (s_1, \ldots, s_q)$的集合，使得$w(s) = s_1 \ldots s_q$为长度$q$。证明序列$s, s' \in \Sigma_q^r$等价于模$R_q$当且仅当$w(s) = w(s')$（通过$q$上的归纳论证并应用no. 5的第5条命题）。

c) 证明序列 $s \in \Sigma_q$ 不属于到$\Sigma_q^r$ 当且仅当$s$ 等价于$R_q$ 到序列的模，其中两个连续的项相等。 （通过$q$和约化对序列$(s_1, \ldots, s_q)$的情况进行归纳论证，该情况不是属于到$\Sigma_q^r$，而是$(s_1, \ldots, s_{q-1})$和$(s_2, \ldots, s_q)$属于到$\Sigma_{q-1}^r$；使用 Exerc 1 来证明 $s_1 \ldots s_{q-1} = s_2 \ldots s_q$ 并应用 b)。）