习题 13, § 2

我们使用Exerc的记号。 § 1 的 24 号：$(I, \mathscr{U})$ 是一栋宽敞的结构建筑，配备 Coxeter 系统 $(W, S)$ 和经过调整的编号，$\mathscr{J}$ 是允许从与 $(W, S)$ 相关的公寓 $A_0$ 到各公寓的集合的同构 $(I, \mathscr{U})$。此外，令$G$为I允许的自同构的群，保留E：群$G$，然后作用于$\mathscr{J}$，我们假设$G$传递作用于$\mathscr{J}$。

用C表示I的房间，A，$\mathscr{U}$包含C，$\varphi$的公寓，允许从$A_0$到A的同构到A，将$A_0$的标准房间$C_e$到C，B G 中 C 的稳定子和 G 中 A 的 N 稳定子。

a) 证明，如果$A'$和$A''$是两个公寓属于到$\mathscr{U}$，并且包含同一个房间，则对于所有$a \in A' \cap A''$，存在$g \in G$使得$g(A') = A''$和$g(a) = a$。证明$G$传递作用于对$(A, C)$的集合，其中$A \in \mathscr{U}$和C是A的一个室。

b) 证明从 N 到 W 映射 $n \mapsto \varphi^{-1} \circ n \circ \varphi$ 是满同态，其中核 $B \cap N$。因此我们可以用 W 认同 $N/(B \cap N)$。

c) 证明 Exerc 的条件 (WI 1) 和 (WI 2)。 10 d) 满足（使用以下事实：如果I包含的公寓有两个房间$C'$和$C''$，则它包含每个带有四肢$C'$和$C''$的最小画廊（§ 1，练习24 b）））。

d) 显示 Exerc 的条件 (G)。 10 g) (以及练习 11 的更不必说条件 (G$_0$)) 已满足（(G) 的记号，考虑I 包含 $C_0$ 的公寓$A'$（分别$A''$）和$C'$（分别$C''$）；使用§ 1的Exerc 24 b)来显示$\Gamma \subset A'' \cap A''$并使用a))。

e) 证明 $(G, B, N, S)$ 是 Tits 系统并且 $(I, \mathscr{U})$ 与相关的编号结构建筑规范同构（练习 12）。