习题 15, § 2

我们使用Exerc的假设和记号。 10. 此外，假设 $(G, B)$ 的 Weyl 群 W 是有限的，并用 $w_0$ 表示 W 的最长元素（§ 1，练习 22）。如果$t(C, C') = w_0$，据说两个议院C和$C'$表示反对。

a) 证明如果C和C'相反，C'和C也相反。证明存在一个与任何给定房间 C 相反的房间。证明 G 中室 C 的稳定子传递作用于与 C 相反的室集合。

b) 令C和C'为两个相对的室。证明对于所有 $w \in W$，存在一个唯一的室 $C_w$，其具有以下性质：如果 $(s_1, \ldots, s_k)$（分别为 $(s'_1, \ldots, s'_h)$）是 w 的减少的分解（分别为 $w' = w_0 w^{-1}$），则存在一个最小画廊 $(C_0 = C, C_1, \ldots, C_n = C')$ 为型 $(s_1, \ldots, s_k, s'_1, \ldots, s'_h)$（与$n = h + k$）使得$C_{w'} = C_k$（使用§1的练习22和练习10，d）和e））。证明 $C_w$ 和 $C_{w w_0}$ 相反。

c) 设$\mathscr{M}$为相对室的对中的集合。对于$m = (C, C') \in \mathscr{M}$，令$A_m$为上面构建的室$C_w$的并。证明$m \in \mathscr{M}$配备$A_m$的集合$\mathscr{U}$的I是一座结构化建筑（$§ 1$，练习24），并且Coxeter系统$(W, S)$和I的编号适用于$(I, \mathscr{U})$； 定义从$\mathscr{M}$到集合的规范双射在Exerc中用$J$表示。 $§ 1$ 中的 24 个。我们认同这两个集合。

d) 让$m = (C, C') \in \mathscr{M}$与$C = C_e$，并让N为G中$A_m$的稳定子。证明$N/(B \cap N)$可以用W识别，并且$(G, B, N, S)$是饱和的Tits系统（使用练习13）。