习题 16, § 2

我们保留Exerc的假设和记号。 15.

a) 令C和C'为两个室。证明存在一个与C和C'相对的房间$C''$（取与C相对的$C''$，使得$t(C, C')$的大小为最大的，可能为长度；如果$t(C', C'') \neq w_0$，则存在一个相邻的房间$C_1$ $C''$使得$l(t(C', C_1)) > l(t(C', C''))$；通过使用Exerc 10的条件（G）表明我们可以假设$C_1 \notin A_{(C, C'')}$并且$C_1$与C相反）。

b) 设 $a \in \mathscr{U}$；表明存在唯一的对合自同构$j_A$（不一定允许），它将 A 的每个室带到相对的室（使用 $§ 1$ 的练习 22 c））。令F和F'为I的两个面；表明如果$F' = j_A(F)$对于某些$A \in \mathscr{U}$包含F和F'，那么对于所有$A \in \mathscr{U}$包含F和F'也是如此（如果$F, F' \in A \cap A'$，与$A, A' \in \mathscr{U}$，考虑一个房间C（分别为C'） A (分别 A') 包含于 F (分别 F') 和 $A'' \in \mathscr{U}$ 包含于 C 和 C' 并使用 (SB 3))。那么 F 和 F' 就称为对立。证明两个面具有公共的对立面当且仅当它们具有相同的型 T，并且与型 T 的面相对的面具有型 $w_0 T w_0^{-1}$。

c) 令 $A_0$ 为与 Coxeter 系统 $(W, S)$（$§ 1$，练习 16）关联的公寓，并令 $\mathscr{J}$ 为允许的同构从 $A_0$ 到各个元素的集合 $\mathscr{U}$。如果$\alpha$是$A_0$的一半，墙壁为L（$§ 1$，练习16），如果$\varphi \in \mathscr{J}$，我们说$\varphi(\alpha)$是I的半公寓，墙壁为$\varphi(L)$。证明 $\varphi(L)$ 只依赖于 $\varphi(\alpha)$ 而不是对 $(\varphi, \alpha)$。令$D_1$和$D_2$是两个不同的半公寓，具有相同的墙L：表明存在$\varphi \in \mathscr{J}$和$A_0$的墙$L_0$，使得$L = \varphi(L_0)$和$D_i$在像之下$A_0$两半的$\varphi$由$L_0$确定（选择包含在$L$中的面板$F$和两个室$C_1$和$C_2$，一个包含在$D_1$中，另一个包含在$D_2$中，这样$C_1$包含于$F$及$C_2$包含小组反对$D_1$中的$F$（亦反对$D_2$中的$F$）并考虑$I$包含的公寓$C_1$ 和 $C_2$）。