习题 1, § 4

取G为群$\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$或$\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$之一； 认同 $\mathfrak{g}_{\mathbf{C}}$ 分别与 $\mathfrak{s}\mathfrak{l}(n,\mathbf{C})$ 或 $\mathfrak{s}\mathfrak{p}(2n,\mathbf{C})$、cf. §3, no. 4 和 Exerc。 3. 我们使用第 1 章的记号。 VIII, §13，编号。 1 和 3，其中 $k=\mathbf{C}$。

a) 证明具有复系数的对角线矩阵的 G 由……组成的子群 T 是最大值环面，并且$L(T)_{(\mathbf{C})}=\mathfrak{h}$。

b) 认同X(T)，其中子群等于$\mathfrak{h}^*$，通过同态$\delta$。显示线性形式 $\varepsilon_i$ 和主导权 $\varpi_j$ 属于到 X(T)。如果$t=$ diag($t_1, . . . , t_n$)$\in T$，则$\varepsilon_i(t) =t_i$和$\varpi_j(t) =t_1. . . t_j$对应$1\leq i, j\leq n$。 c) 从 b) 另一个证明推出群 $\mathbf{S}\mathbf{U}(n,\mathbf{C})$ 和 $\mathbf{U}(n,\mathbf{H})$ 是单连通的（cf. §3，练习 4 和 6）。