习题 2, § 4

a) 令$\Gamma_w$为圆锥体$w(C)$的极值生成元的集合，并令$A$为$w \in W$的$\Gamma_w$的并。证明配备有集合 $\{\Gamma_w | w \in W\}$ 的 $A$ 是一座建筑物（第 IV, § 1 章，练习 15）。显示映射 $j$ 从与 Coxeter 系统 $(W, S)$（第 IV, § 1，练习 16）相关的公寓 $A_0$ 到 $A$，变换点 $wW^{(s)}$ $A_0$（对于$w \in W$和$s \in S$）到生成元$w(\mathbf{Re}_s)$，是从$A_0$到$A$的同构，与$W$的作用兼容。证明，如果$t = wsw^{-1}$、$w \in W$和$s \in S$，像位于由$t$定义的墙$L_t$的$j$之下（分别是由$L_t$定义的$A_0$的一半） (\emph{loc. }) 是超平面（分别是闭合半空间）中包含的 $A$ 的元素的集合（分别是闭合半空间），即变换乘以超平面 $e_s = 0$（分别是闭合半空间 $e_s \geq 0$ 之一）的 $\sigma^*(w)$或$e_s \leq 0$）。

b) 证明$W$是有限的当且仅当存在元素$w_0 \in W$使得$w_0(C) = -C$。这个元素$w_0$是唯一的，并且是$W$中最长的元素（使用第IV, § 1章的Exerc.22）。证明在这种情况下 $j(-a) = -j(a)$ 对于第 1 章的所有 $a \in A_0$ (cf. 练习 22 c) IV, § 1）。

c) 证明$W$是有限的，当且仅当通过取$w \in W$的圆锥闭包$w(\overline{C})$的并而形成的圆锥$U$等于$E^*$的整体（如果$W$是有限的，则使用b）和$U$的凸性。如果$U = E^*$，考虑元素$w \in W$使得$w(\overline{C}) \cap (-C) \neq \varnothing$并证明$w(C) = -C$。

d) 令 $H$ 为 $W$ 的有限子群。证明存在 $S$ 的子集 $X$，使得 $W_X$ 是有限的，且 $H$ 存在包含共轭。 （通过归纳对$\mathrm{Card}(S)$进行论证。让$x \in C$和$\overline{x} = \sum_{h \in H} h(x)$。通过使用上面的c）表明，如果$\overline{x} = 0$，则$W$是有限的。如果$\overline{x} \neq 0$，则存在$w \in W$和$Y \subset S, Y \neq S$，使得$w(\overline{x})$属于到$C_Y$（在no. 6的记号中），因此$H \subset w^{-1}W_Yw$；将归纳假设应用到$Y$。）