Bourbaki

习题 2, § 6

标签 0ATW，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 0ATW]。

李群与李代数, V

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

假设 WW 是不可约的。令CC为相对于WW的房间，(H1,…,Hl)(H_1, \ldots, H_l)其壁，eie_i为与HiH_i正交的非零向量。假设 e1,…,ere_1, \ldots, e_r （分别为 er+1,…,ele_{r+1}, \ldots, e_l）是成对正交的 (cf. no. 2)。对于所有u∈Zu \in \mathbf{Z}、定义、HuH_u和sus_u乘以Hu=HkH_u = H_k（如果u≡k(modl)u \equiv k \pmod{l}和su=sHus_u = s_{H_u}）。

a) 证明H\mathfrak{H}中的元素是u=1,2,…,lh/2u = 1, 2, \ldots, lh/2的s1s2…su−1Hus_1 s_2 \ldots s_{u-1} H_u。

b) 设s′=s1…srs' = s_1 \ldots s_r和s′′=sr+1…sls'' = s_{r+1} \ldots s_l，因此c=s′s′′c = s's''是与有序室C相关的Coxeter变换。令 w0w_0 为 W 的元素，即变换 C 到 −C-C（cf. § 4，练习 2）。证明，如果 hh 是奇数，

w0=s′s′′s′…s′′s′⏟h terms=s′′s′s′′…s′s′′⏟h terms=s′′c(h−1)/2=c(h−1)/2s′. w_0 = \underbrace{s' s'' s' \ldots s'' s'}_{h \text{ terms}} = \underbrace{s'' s' s'' \ldots s' s''}_{h \text{ terms}} = s'' c^{(h-1)/2} = c^{(h-1)/2} s'.

c) 输入S={s1,…,sl}S = \{ s_1, \ldots, s_l \}。 对 (W,S)(W, S) 是 Coxeter 系统。如果w∈Ww \in W，则用关于S的ww的lS(w)l_S(w)长度来表示（第IV, § 1, no. 1章）。表明

lS(s′)=r,lS(s′′)=l−r,lS(c)=l. l_S(s') = r, \quad l_S(s'') = l - r, \quad l_S(c) = l.

推断出，b) 中的假设，

lS(w0)≤r+h−12landlS(w0)≤(l−r)+h−12l. l_S(w_0) \leq r + \frac{h-1}{2} l \quad \text{and} \quad l_S(w_0) \leq (l-r) + \frac{h-1}{2} l.

另一方面证明lS(w0)=Card⁡(H)=hl/2l_S(w_0) = \operatorname{Card}(\mathfrak{H}) = hl/2（使用第IV, § 1章的练习22）。推断 r=l/2r = l/2 和 (s1,s2,…,slh/2)(s_1, s_2, \ldots, s_{lh/2}) 是 w0w_0 的减少的分解。

d) 证明，如果 hh 是偶数，(s1,…,slh/2)(s_1, \ldots, s_{lh/2}) 是w0=ch/2w_0 = c^{h/2} 的约分解。 （同样方法。）

解答

尚未写出解答。

被以下引用

引用了

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。