习题 21, § 10

() a) 令 $X$ 为可访问的空间，它是局部拟紧* (\S 9, 习题 29)。 令$X_0$为离散空间，其与$X$具有相同的底层集合，并令$\tilde{X}_0$为$X_0$的（紧凑）超滤器空间（离散空间$X_0$由开子空间标识） $\tilde{X}_0$) (\S 9, 习题 26)。 在$\tilde{X}_0$上，令$R$[或$R(X)$]为以下超滤器$\mathfrak{U}, \mathfrak{B}$之间的等价关系：“$\mathfrak{U}$中的极限点和$X$中的$\mathfrak{B}$的集合相同”。 证明 $R$ 是 Hausdorff [使用 \S 9 中给出的 $\tilde{X}_0$ 拓扑描述、\S 7 的习题 25 b)、习题 7 b) 和公理 (C')]。 紧致的空间 $X^c = \tilde{X}_0 / R$ 与对应与集合的 原始 子集的 $X$ (\S 7, 习题 7) 是一对一的。 如果$X$是豪斯多夫（因此局部紧致），那么如果$X$是紧致的，$X^c$可以与$X$识别，如果$X$不是紧致的，则可以与$X$的单点紧致化识别

b) 令$Y$为$X$的闭子空间。超滤器空间$\tilde{Y}_0$可与$\tilde{X}_0$中的$Y_0$的闭合识别，以及$Y^c$与$X^c$中的$\tilde{Y}_0$的典范像识别。

c) 证明典范映射$\tilde{X}_0 \to X^c$的限制到$X_0$是$X_0$的双射到$X^c$的子空间$X_*^c$，典范映射$f : X_*^c \to X$是连续的双射，并且$X_*^c$的任何紧致子集的这个映射下的像是$X$的闭紧致子集。 [要证明 $f$ 是连续的，请使用 b)；还注，$X_*^c$的点的$\tilde{X}_0$中的逆像由$X$上的所有超滤器组成，这些超滤器具有单个给定的极限点，并且如果$\mathfrak{U}$是$X$上的超滤器，那么它的$\tilde{X}_0$中的极限点，当$\mathfrak{U}$被视为$\tilde{X}_0$上的超滤器基时，$\mathfrak{U}$被视为$\tilde{X}_0$的*点*]。

d) 设$Z$为集合，即空间$Y_n$的可数数中的和，每个与§ 8的习题7中定义的空间$Y$相同，并且单个点的集合$\{ \omega \}$由……组成。 $Z$上的定义拓扑，将点$z \in Y_n$的邻域的基本系统作为其空间$Y_n$中的邻域过滤器，并作为系统的基本系统 $Y$子集$V_n$$\omega$集合邻域，其中$V_n$为$\{ \omega \}$的并以及$m \geq n$的$Y_m$。这样定义的空间$Z$是可达的、拟紧的、局部拟紧的；但 $Z^c$ 的子空间 $Z_*^c$ 不是局部紧凑的。*

e) 令$Y$为另一个可局部准紧可访问空间，并令$u$为$X$到$Y$的连续映射，使得逆像在每个准紧的$u$下$Y$ 的子集是准紧的。将$u$视为$X_*^c$的映射化为$Y_*^c$，证明$u$是连续的，可得

(*) 习题和§ 7 习题 7 中的结果归功于 J. Fell。

（统一地）扩展到连续的映射 $X^c \to Y^c$。 [首先将扩展$u$转换为$\tilde{X}_0$的连续映射进入$\tilde{Y}_0$，并表明扩张与等价关系$R(X),\ R(Y)$相容的]。

f) 令 $X$ 为§ 9 习题 29 c) 中定义的准紧致，非局部准紧致，可访问空间。表明相应的空间 $\tilde{X}_0$ 等价关系 $R(X)$ 不是 Hausdorff。