习题 7, § 5

令$X$和$Y$是两个非空拓扑空间，$f : X \to Y$是一个满射映射。证明$f$是闭集当且仅当$\mathfrak{P}_0(X)$携带拓扑$\mathfrak{T}_\Omega$（或$\mathfrak{T}_\Phi$）（§ 2，习题7）时$Y$到$\mathfrak{P}_0(X)$的映射$y \to (f^{-1}y)$是连续的。

推导出拓扑在非空拓扑空间 $X$ 的商集 $X/R$ 上由拓扑 $\mathfrak{T}_\Omega$（分别为 $\mathfrak{T}_\Phi$）重合与拓扑的商得出$X$乘$R$当且仅当$R$关闭（或打开）（cf.§ 3，习题16）。