习题 20, § 8

a) 如果 $U = \alpha(u)$ (§ 1, 习题 3)，则拓扑空间 $X$ 的开子集 $U$ 被称为“正则”；等价地，如果 $U$ 是封闭的集合的内部，则 $U$ 是正则的。如果$X$ 形式基 $\mathfrak{T}$ 的常规开子集，$X$ 被称为*半规则*（并且其拓扑 $\mathfrak{T}$ 被称为*半规则*）。证明如果 $\mathfrak{T}$ 满足公理 $(O_{III})$，则 $\mathfrak{T}$ 是半正则的。

b) 证明两个正则开集合中的交是正则开集合。推导出$X$上拓扑$\mathfrak{T}^*$相对于$\mathfrak{T}$形式基的正则开集合，比$\mathfrak{T}$更粗且半正则； $\mathfrak{T}^*$ 据说是与 $\mathfrak{T}$ 关联的半正则拓扑。证明对于在$\mathfrak{T}$开放的$X$的每个子集$U$，$U$相对于$\mathfrak{T}^*$的闭包与其在$\mathfrak{T}$中的闭包相同，并且如果$X$对于$\mathfrak{T}$孤立的可访问$X$相对于$\mathfrak{T}^*$的点与$X$相对于$\mathfrak{T}$的孤立点相同。证明$\mathfrak{T}^*$是Hausdorff当且仅当$\mathfrak{T}$是[使用§ 1的习题 3 d)]，最后如果$Y$是正则空间，则$X$到$Y$的连续映射是$\mathfrak{T}$ 和 $\mathfrak{T}^*$ 拓扑结构相同。

c) 令$X$为半正则空间，令$\mathfrak{T}_0$为其拓扑。证明$X$上的拓扑$\mathfrak{T}$使得$\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$当且仅当存在集合$\mathfrak{M}$的*密集*子集的$X$（在拓扑$\mathfrak{T}_0$中）使得每个有限$\mathfrak{M}$ 属于的集合的交到 $\mathfrak{M}$，并且使得拓扑 $\mathfrak{T}$ 由 $\mathfrak{M}$ 的并和子集的集合生成$X$ 拓扑 $\mathfrak{T}_0$ 开放。 [考虑密集开子集（在拓扑$\mathfrak{T}$中），并注意$\mathfrak{T}$中的每个开集合都是密集开集合（在拓扑$\mathfrak{T}$中）和开集合的交 （在拓扑$\mathfrak{T}_0$）。]因此，非规则Hausdorff拓扑的构造例比规则的拓扑更细（*甚至更细比紧凑度量化的拓扑空间*）。