习题 2, § 1

半拓扑群是赋予拓扑的群$G$，使得对于每个$a \in G$，平移$x \to ax$和$x \to xa$在$G$上连续，并且对称性$x \to x^{-1}$在$G$上连续(*)。

a) 群 $G$ 上的过滤器$\mathfrak{B}$ 是拓扑中$e$ 的邻域过滤器，这使得$G$ 成为半拓扑群当且仅当$\mathfrak{B}$ 满足公理$(\mathrm{GV}_{\mathrm{II}})$ 且$(\mathrm{GV}_{\mathrm{III}})$ 和过滤器系列

满足章I, § 1, no. 2公理$(\mathrm{V}_{\mathrm{IV}})$。

b) 如果$G$是无限群，则证明拓扑，其中开集合是$\varnothing$，并且$G$的有限子集的补集使$G$成为非豪斯多夫半拓扑群，其中$\{e\}$已关闭，但与$G$的群结构不兼容。

c) $\mathbf{R}$上的定义拓扑，更细比通常的拓扑，其中$\mathbf{R}$是半拓扑但不是拓扑群[考虑数的递减序列$(r_n)$ $> 0$，趋于$0$，并取对称区间]—$a, a[$的交以及点$\pm r_n$的集合的补集。 \

(*) 如果 $G$ 是局部紧凑的，这些条件意味着 $G$ 的拓扑与其群结构兼容（章 X, § 3，习题 25）。