习题 15, § 2

a) 令 $X$ 为连通的 Hausdorff 空间，使得对于每个 $x \in X$，$C\{x\}$ 恰好有两个分量。证明，如果 $K$ 是这些分量中的任何一个，则 $K = K \cup \{x\}$ [章 I, § 11, 习题 4 a)]。令$x, y$为$X$的两个不同的点，令$A$和$B$为$C\{x\}$的分量，并令$A', B'$为$C\{y\}$的分量。证明两个集合 $A, B$ 之一包含在$A'$ 或$B'$ 中。

b) 令$x_0$为$X$的点，令$A(x_0), B(x_0)$为$C\{x_0\}$的分量。对于每个$x \neq x_0$，$C\{x\}$的两个分量中恰好有一个包含在$A(x_0)$或包含$A(x_0)$中；用 $A(x)$ 表示该分量。证明关系 $A(x) \subset A(y)$ 是序关系与 $X$ 的拓扑线性相容 (习题 14)。

c) 扩展 b) 的结论，其中$C\{x\}$ 对于所有 $x \in X$ 有两个分量，除了一个点 $a \in X$，$C\{a\}$ 是相连的。

d) 令$X$为点$a = (0, 1)$、$b = (0, -1)$和所有对$(x, y)$的$\mathbf{R}^2$由……组成的子空间，使得$x \neq 0$和$y = \sin(1/x)$。 证明 $\mathbf{R}^2$ 的拓扑在 $X$ 上诱发 $X$ 在拓扑 $\mathfrak{T}$ 中相连，$C\{a\}$ 和 $C\{b\}$ 相连，并且对于 $X$ 的每个点 $x$，除了$a$和$b$，$C\{x\}$恰好有两个分量；但$X$不存在与拓扑$\mathfrak{T}$兼容的线性排序。