习题 15, § 1

a) 令$X$为局部紧凑空间，并令$\Phi$为所有连续映射$g : X \to [0, 1]$的集合，其中零是某些紧集的补集（取决于$g$）。令 $\mathscr{U}_1$ 为 $X$ 上的最粗糙均匀性，其中所有映射 $g \in \Phi$ 均一致连续。证明$\mathscr{U}_1$与$X$的拓扑兼容，$X$相对于$\mathscr{U}_1$的补全$\hat{X}$是紧致的，$X \setminus \hat{X}$至多由一个点组成（证明如果$X$不是紧致的，则相对补集的过滤$X$的紧凑子集是相对于$\mathscr{U}_1$的柯西滤波器）。

b) 表明$\mathscr{U}_1$是与$X$的拓扑兼容的最粗均匀度。

c) 相反，令$X$是完全正则的空间，使得与$X$的拓扑兼容的均匀性的集合具有最粗糙的元素$\mathscr{U}_1$。证明 $X$ 是局部紧致的。 （利用习题 6，证明$X$相对于$\mathscr{U}_1$是预紧的；然后证明$X$相对于$\mathscr{U}_1$不能的补集有多个点。）

d) 假设 $X$ 是局部紧致且 $\sigma$ 紧致，因此递增序列 $(\mathbf{U}_n)$ 的并相对紧开开集合使得 $\overline{\mathbf{U}}_n \subset \mathbf{U}_{n+1}$ (章 I, § 9, no. 9， 命题15)。证明在 $X$ 上存在连续实值函数 $f$，使得 $x \in \overline{\mathbf{U}}_n$ 为 $f(x) \leq n$，$x \in \mathbf{C} \mathbf{U}_n$ 为 $f(x) \geq n$ [cf. 习题 10 a)]。令 $\mathscr{U}_2$ 为 $X$ 上的最粗糙均匀性，其中 $f$ 和所有函数 $g \in \Phi$ 均匀连续。证明 $\mathscr{U}_2$ 与 $X$ 的拓扑兼容，并且存在 $\mathscr{U}_2$ 的随行人员 $V$，使得对于所有 $x \in X$，$V(x)$ 在 $X$ 中相对紧凑（cf. 章） II, § 4、习题 9)。