习题 24, § 4

a) 令$X$为可度量的空间，并令$R$为$X$上的闭等价关系，所有等价类都是紧致的。证明 $X/R$ 是可度量的。 [将 Nagata-Smirnov 定理 (习题 22) 与证明引理 3 或 no. 5 的类似物应用于由集合形成的 $X$ 开放覆盖物，相对于 $R$ 是“饱和”的；让$F_{n\alpha}$表示所有$x \in X$的集合中包含的最大的饱和开路集合，使得$d(x, X - U_\alpha) > 2^{-n}$，让$F'_{n\alpha}$表示所有$x \in X$的集合的饱和，使得$d(x, X - U_\alpha) \geq 2^{-n}$并且让$G_{n\alpha}$ 表示所有 $x \in F_{n\alpha}$ 中的集合，使得 $x \notin F'_{n+1, \beta}$ 代表所有 $\beta < \alpha$。]

b) 扩展 a) 的结果，其中关系 $R$ 是闭合的，并且$X/R$ 的每个点都有一个邻域的可数基本系统 [使用§ 2 的习题 20 b)]。

c) 令$X$为拓扑空间，并令$(F_\alpha)$为$X$的局部有限闭覆盖。证明如果子空间 $F_\alpha$ 中的每一个都是可度量的，那么 $X$ 也是可度量的（将 $X$ 视为 $F_\alpha$ 的拓扑和的商空间）。

d) 仿紧紧凑空间，其中每个点都有一个可度量的邻域，是可度量的 [应用 c)； cf. 章 I, § 9、习题 12 b)、章 IX, § 4、习题 25 d)、§ 2、习题 15 和 § 5， 习题15]。