习题 26, § 4

a) 证明每个伪紧法线空间 $X$ (§ 1, 习题 22) 都是可数紧的 (§ 2, 习题 14)。 [表明，如果 $(x_n)$ 是 $X$ 的不同点的序列，且没有簇点，则 $X$ 上存在连续有限实值函数 $f$，使得 $f(x_n) = n$ 对于所有 $n$。]

b) 令$Y = [a, b[$为在章I, § 9、习题12中定义的局部紧致空间，令$Y_0$为在无穷远处与$Y$点邻接而获得的紧致空间（可表示为$b$）。令$c$为$Y$的最小的元素，使得$[a, c[$无限，并令$Z$为$Y$的紧凑子空间$[a, c]$。令 $X$ 为紧凑乘积空间 $Y_0 \times Z$ 中点 $(b, c)$ 的补集。证明 $X$ 是局部紧致的，但不是正规的 [cf. 习题 12 a)]； $X$ 是伪紧致但不是可数紧致。给出 $X$ 的闭子空间的例，它不是伪紧的。另外，给出 $X$ 上的下半连续函数的例，它未达到其下确界 [cf. § 2, 习题 14 i)]。