习题 14, § 2

令$A$为环（不一定可交换）且$E$为左$A$模。 $E$上的拓扑被称为线性，如果它在平移下不变并且$0$承认邻域的基本系统，它是$E$的子模； $E$ 则被称为线性拓扑。如果给$A$离散的拓扑，$E$上的线性拓扑与其加法群、结构和$E$上的定义兼容，拓扑$A$模结构。在任何 $A$ 模块上，离散拓扑和最粗糙的拓扑都是线性拓扑。

(a) 如果$E$是$E$的线性拓扑模和$F$子模，则$F$上的诱导拓扑和$E$上的拓扑商$F$ 是线性拓扑。如果$(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$是线性拓扑$A$模块的逆系，其中$f_{\alpha\beta}$是连续的线性映射，则拓扑$A$模块$E = \lim \leftarrow E_\alpha$是线性拓扑的。

(b) 设$E$为线性拓扑$A$模块。在开（闭）子模的$E$由……组成中存在邻域的$0$的基本系统$(V_\lambda)_{\lambda \in L}$；如果$\phi_{\lambda\mu}: E/V_\mu \to E/V_\lambda$是典范映射，当$V_\lambda \supseteq V_\mu$时，$(E/V_\lambda, \phi_{\lambda\mu})$族是离散$A$模块的逆系；拓扑$A$-模块$\tilde{E} = \lim \leftarrow E/V_\lambda$与$E$的豪斯多夫完成一致，因此是线性拓扑的（一般拓扑、章III, § 7, no. 3）。

(c) Hausdorff 线性拓扑 A-模 $E$ 是离散的，如果它是阿廷的或集合中存在子模 $\neq 0$ 中的至少元素 $E$。