习题 16, § 2

(a) 令 $E$ 为 Hausdorff 线性拓扑 A-模。证明以下性质是等价的：

$(\alpha)$ $E$ 是线性紧致的 (习题 15)。

$(\beta)$ 对于从 $E$ 到 Hausdorff 线性拓扑 A-模 $F$ 的每个连续线性映射 $u$，$u(E)$ 是 $F$ 的闭子模。

$(\gamma)$ 对于 $E$ 上的每个线性拓扑（无论是否为 Hausdorff），都比给定的拓扑更粗糙，$E$ 是完整的。

$(\delta)$ $E$ 是完备的，并且$E$ 中的开邻域的基本系统 $(U_\lambda)$ 为 0，子模中的由……组成且$E/U_\lambda$ 是线性紧致离散A-模 （cf.§ 3，习题5）。

（要看到$(\gamma)$意味着$(\delta)$，请考虑$E$的开子模$F$和仿射线性簇的$E/F$由……组成上的过滤器基$\mathfrak{B}$。对于所有$V \in \mathfrak{B}$，令$M_V$是E/F中V方向子模的逆像；考虑E上的线性拓扑，其中$M_v$形式是0的邻域的基本系统。）

(b) 令 E 为 Hausdorff 线性拓扑 A-模，M 为 E 的线性紧致子模。证明，对于 E 的每个闭子模 F，$M + F$ 在 E 中闭（考虑 E/F 中 M 的像）。

(c) 令 E 为线性紧致A-模，F 为 Hausdorff 线性拓扑A-模。证明 $E \times F$ 的子模 M 永远闭，M 到 F 的投影是闭的。获得逆命题（cf.一般拓扑、章I, § 10, no. 2）。

(d) 令 E 为线性紧致 A-模和 $u$ E 到 Hausdorff 线性拓扑 A-模 F 的连续线性映射。表明，对于仿射线性簇 E 由……组成上的每个滤波器基 $\mathscr{B}$，像 $\mathscr{B}$的集群点的集合$u$是$u(\mathscr{B})$的集群点的集合。特别是，对于 E 的每个闭子模 M，$\bigcap_{N \in \mathscr{B}} (M + N) = M + \bigcap_{N \in \mathscr{B}} N$。