习题 12, § 2

令$A$为环，$M$为$A$模，$N$为$M$的子模。 (a) 为了将 $\operatorname{Ass}_f(M/N)$ (§ 1, 习题 17) 简化为单个元素 $p$，$N \neq M$ 是必要且充分的，并且对于所有 $a \in A$、位似，$M/N$ 的比率为$a$单射或几乎幂零；那么 $p = r_M(N)$ (习题 11) 并且我们还说 $N$ 是 $M$ 中的 primay （或 $p$-*primay*）。对于$M$的每个子模$M'$，使得$N \subset M'$和$N \neq M'$，$N$是$M'$中的$p$主。 (b) 如果 $r_M(N)$ 是 $A$ 的极大理想，则证明 $N$ 在 $M$ 中是主要的。特别是，仅包含在单个素理想$m$（必然是最大的）中的$A$的每个理想$q$是$m$-主要的。 (c) 设$A$为整环且$A$为$x$元素，使得$p = Ax$为质数；那么，对于每个整数$n \geq 1$，$Ax^n$是$p$-主要。证明对于 A 不是整环的情况，该结果不扩展（取$A = B/b$，其中$B = K[X, Y]$（K 为域），$b = BX^2 + BXY$）。

(d) 若 A 为绝对平坦环 (章 I, § 2, 习题 17)，则 A 的初理想与 A 的初理想相同。

(e) 给出 Z 模 M 的例，使得 {0} 是 p 初等的（对于素数数 $p$），但是对于 $\mathbf{Z}$ 中没有 $a \neq 0$ 来说，位似 $a_M$ 幂零的（cf. 章） II, § 2、习题 3)。