习题 26, § 2

令$A$为拉斯克环，其中每个理想$\#A$在$A$中都有一个唯一的简化初等分解。

(a) 证明对于每个理想 $a \neq A$ $\mathrm{Ass}_f(A/a)$ 的所有元素在此集合中都是最小的（使用习题 25 (b)）。令$\{0\} = \bigcap_{1 \leq i \leq n} q_i$为$A$的约初等分解，令$p_i$为$q_i$（$1 \leq i \leq n$）的根式。证明与 $p_i$ 不同的 $A$ 的每个素理想都是最大的（使用习题 24 (c)）。如果$p$是$A$的素理想，$q$是$p$中包含的理想，并且$p/q$是$A/q$中的零理想，则证明每个理想$a$使得$q \subset a \subset p$是$p$-初等理想。推断如果 $p_i$ 之一不是最大，则 $p_i$ 是唯一的 $p_i$ 初级理想和 $p_i^2 = p_i$（使用习题 16）。

(b) 证明在 $A$ 中，每一个递增序列等于其根式的理想都是静止的。推论出每个严格递增的序列$(a_i)$的理想，使得$A/a_{n-1}$中的每个商$a_n/a_{n-1}$包含非幂零元素都是有限的。 结论由此可知，对于 $A$ 的每个素理想$p$，都存在一个基数为 $p$ 且有限生成的初理想。特别是，每个非最大值的$p_i$都是有限生成的，因此包含是一个幂等的$e_i$，其中生成它（章11，§ 4，习题15）。

(c) 证明，对于 $i \neq j$ $p_i + p_j = A$（如果 $p_i$ 和 $p_j$ 不是最大值，则考虑 $e_i + e_j - e_i e_j$）。 结论 $A$ 同构于环 $A_i = A/q_i$ 的有限数的乘积，使得： $A$ 是局部环，其最大理想是零理想；或者$A$是整环，其中每个素理想$\neq \{0\}$都是最大的，并且每个理想$\neq \{0\}$仅包含在有限的数最大理想中（cf.§ 1，习题2）。 \* 获得逆命题。