习题 9, § 1

(a) 设$R$为环、$R$的$A$子环、$R$的$x$元素以及$x^k$($k \geq 0$)的$S$集合 $R$。证明，要使$x$在$A$上积分，$x/1 \in A[1/x]$在环$S^{-1}R$中是充分必要的。如果 $x$ 不是对 $A$ 的积分，则证明存在 $A[1/x]$ 包含于 $1/x$ 的最大理想 $m$，且典范同态 $A \to A[1/x]$ 下 $m$ 的逆像是以下的最大理想$A$。

(b) 证明$R$中$A$的积分闭包$A'$是$R$（习题8）的平价子环的交，其中包含$A$。 （要查看 $A'$ 是否包含在这些环中，请使用习题 8 (a) 和习题 6 (d)；要查看，如果 $x \in R$ 不是 $A$ 的整数，则存在子环 $B$ $R$ 在 $R$ 中是平价的，因此$x \notin B$，使用 (a)、习题 7 (a) 和习题 8 (c)，如 no. 3 的定理 3 中那样论证。）