习题 30, § 1

如果在幺半群 D(A) 中，每个有限生成的除子 (习题 11) 都是一个*正则* 元素，则整环被称为*正则积分闭*。每个完全积分闭域都是正则积分闭的；每个伪 Bezooutial 域 (习题 2I) 都是规则积分闭的。 (a) 如果 A 是正则积分闭且 $d, d', d''$ 是三个有限生成的除子，关系 $d + d'' \leq d' + d''$ 蕴含$d \leq d'$。 (b) 从(a)推导出，对于整环 A 是正则积分闭的，对于 A 的每个分数理想 a 使得 div(a) 是有限生成的除子，a: $a = A$ 是充分必要的；特别是 A 是整体闭合的（练习 6 (b)）。 （对于 A 的两个分数理想 b、c，使用 A: (bc) = (A: b) : c 的事实，取 $b = a, c = A: a$。）此外，div(a) 在 D(A) 中是可逆的。

(c) 设$A$为正则积分闭域，$K$为分数的域； $D(A)$ 中$A$ 生成有限生成的除子的幺半群$D_f(A)$ 是晶格有序的群 $G_f(A)$。对于每个多项式$p \in K[X]$，让$d(p)$表示由$p$的系数生成的$A$的分数理想的除子；对于$K(X)$的每个有理数函数$r = p/q$，其中$p, q$位于$K[X]$和$q \neq 0$中，$d(p) - d(q)$在$G_f(A)$上明确定义（独立于$r$作为两个多项式的商的表达）；它由 $d(r)$ (cf. 习题 12 (c)) 表示。如果我们然后写$\gamma(r) = ((r), d(r))$，其中$(r)$是$r$生成的$K[X]$的分数主理想，$y$是有序群$\mathscr{P}^*(A[X])$（§ 3, no. 2的记号）的同构到已订购子群共乘积群

推出$A[X]$是正则积分闭域，并且$D_f(A[X])$与$\mathscr{P}^*(K[X]) \times D_f(A)$同构的（使用(a)和(b)以及习题29(b)）。

(d) 设$B$为积分闭域，$K$为分数的域，以及常数为项的多项式的多项式环、$K[X, Y]$、由……组成的$A$子环属于至 $B$。证明，如果 $B \neq K$，$A$ 是积分闭的，但不是正则积分闭的（证明除子 $\inf(\operatorname{div}(X), \operatorname{div}(Y))$ 对应到除数理想 $a$，使得 $a : a \neq A$）。