习题 8, § 3

令$A$为整环，$x, y, z$为$A$的三个非零元素，其中$x$为极值，$Ax \cap Ay = Axy$。令 $S$ 为$x^n$ ($n \geq 0$) 的乘法集合，并令$B = S^{-1}A$；考虑形式幂级数 $A[[T]]$ 和 $B[[T]]$ 的域。 (a) 令$i, j, k$为三个整数$\geq 0$，使得$ijk - ij - jk - ki \geq 0$和$z^i \in Ax^j + Ay^k$。考虑$A[[T]]$元素$v = xy - z^{i-1}T$。证明存在整数 $t > 0$ 和级数

在$B[[T]]$中，使得$vv' \in A[[T]]$（确定归纳出$b_n$，在$\mathbf{N}$中以长度$ij$的间隔进行；在每个间隔的内部，取 在每个间隔结束时，使用不等式 $ijk + ij - jk - ki \geq 0$。 (b) 假设$z^{i-1} \notin Ax + Ay$。证明在环 $A[[T]]$ 中不存在常量项 $y^k$ ($k$ 整数 $> 0$) 的正式幂级数，并且元素与$v$相关联$B[[T]]$（计算$T$在$v$的乘积和$B[[T]]$的可逆元的系数）。

(c) 从阶乘域 $A$ 的 (a)、(b) 和习题 7 例推导，使得形式幂级数 $A[[T]]$ 的域不是阶乘。 （在上述记号中，假设满足$x, y, z, i, j, k$上的（a）和（b）的条件，则证明$vv'$不能是$A[[T]]$中因子$u_h$（$1 \leq h \leq r$）的极值乘积；观察$u_h$是正式的幂级数，其常数项是$y$的幂，然后考虑环$C = {S'}^{-1}A[[T]]$，其中$S'$由级数组成，其常数项在$S$；$B[[T]]$是Zariski环$C$的完成；证明$v' \in C$和$v$和$u_h$在$C$中是极值；）

(d) Deduce from (c) an example of a Noetherian factorial local integral domain $A$ whose completion $\hat{A}$ is a non-factorial Krull domain.