习题 22, § 7

(a) 令$(y_n)_{n \in \mathbf{Z}}$为群F的基本族。令$\phi$为F的自同构，其中映射$y_n$至$y_{n+1}$；这个自同构定义相当于 F 上 $\mathbf{Z}$ 的运算 $\tau$；设$E = F \times_\tau \mathbf{Z}$为相应的半直接乘积。证明元素 $x = (e, 1)$ 和 $y = (y_0, 0)$ 形式是 E 的基本族。（令 $F_{x, y}$ 为在 $\{x, y\}$ 上构造的自由群，令 $f$ 为 $F_{x, y}$ 的典范同态进入 E。证明存在同态 $g : E \to F_{x, y}$，使得 $g((0, 1)) = x$ 和 $g((y_n, 0)) = x^n y x^{-n}$ 以及 $f$ 和 $g$ 是 1 另一个的倒数。）

(b) 推断由$y$生成的$F_{x, y}$的正常子群是具有基本族$(x^n y x^{-n})_{n \in \mathbf{Z}}$的自由群。通过应用习题20 向$x^n, n \in \mathbf{Z}$的代表系统由……组成获得此结果。

(c) 扩展以上可释放任意群任意秩。