习题 11, § 2

设 A 为环和 I A-模。 I 被称为*内射*，如果对于 A-线性映射的每个正合序列 $E' \to E \to E''$，序列

是准确的。

(a) 证明下列性质是等价的： (α) I 是单射的。 (β) 对于A-线性映射中的每正合序列$0 \to E' \to E \to E'' \to 0$，序列

是准确的。

(γ) 对于每 A-模 M 和 M 中的每子模 N，N 中的每A-线性映射进入 I 可以扩展到 M 中的 A-线性映射进入 I。 (δ) 对于 A 的每个左理想 $a$ 和每个 A-线性映射 $f : a \to I$，都存在元素 $b \in I$，使得对于所有 $a \in a$ 都有 $f(a) = ab$。 (ζ) I 是每 A-模包含中的直因子。 (θ) 对于每个 A-模 E，即 I 的和和单生子模，I 是 E 的直因子。

（为了证明（δ）蕴含（γ），证明性质（δ）意味着如果E是A-模并且E的F子模使得$E/F$是单生的，那么F到I的每一个线性映射都可以扩展到E到I的线性映射。然后使用 Zorn 的引理来证明 (θ) 蕴含 (δ)，请考虑 A-模 $A_s \times I = M$、元素 $(a, -f(a))$ 的 M 由……组成的子模 N 对于 $a \in a$，并将 (θ) 应用于商模。 $M/N$。）

(b) 对于单射的$\mathbf{Z}$模E，对于所有$x \in E$和每个整数$n \neq 0$，存在$y \in E$使得$ny = x$是必要且充分的。特别是，$\mathbf{Z}$-模$\mathbf{Q}$和$\mathbf{Q}/\mathbf{Z}$是单射的。