习题 18, § 2

(a) 对于 A-模 I 是单射的，证明I 不承认任何与自身不同的本质扩张是充分必要的（证明这个条件蕴涵习题 11(a) 的条件 (δ)，对于证明论证： (θ) 蕴涵 (δ) 习题)。

(b) 令 I 为单射A-模。为了使 I 的子模 E 成为单射，E 不承认任何与自身不同且包含在 I 中的本质扩张是充分必要的（利用习题 15(e)），证明这个条件意味着 E 是 I 的直因子）。

(c) 令 I 为A-模的单射，I 的 E 子模且$h : E \to F$ 为本质同态。证明存在一个 单射 同态 $j : F \to I$，使得 $j \circ h$ 是 E 到 I 的典范嵌入。

(d) 设 I 为 A-模，E 子模为 I。证明以下性质是等价的： (α) I 是单射的，并且是 E 的本质扩张。 (β) I 是单射的，并且对于 E 的每个单同态 $j$ 到单射 A-模 J，存在 I 的单同态到 J 扩展 $j$。 (γ) I 是单射且是 I 包含于 E 的最小的单射子模。 (δ) I 是 E 的本质扩张，对于每个本质同态 $h : E \to F$，都存在单同态 $j : F \to I$，使得 $j \circ h$ 是 E 的典范嵌入到 I。 （使用 (c) 和 (a)。）当这些等价条件成立时，I 称为 E 的*内射包络*；那么I也是I包含E的每个子模的单射包络。

(e) 令 I 为A-模的单射，且 E 子模为 I。证明I中包含的E的基本扩张的集合的每个极大元素都是E的单射包络（使用（b））。特别是，每个 A-模都承认一个单射包络 (cf. 习题 14)。

(f) 如果 I、I' 是相同 A-模 E 的两个单射包络，则证明 I 的同构存在于 I' 上，留下 E 的不变式元素。