习题 1, § 5

（指数型的序列的代数）给定两个整数$p, q \in N$，我们用$((p, q))$表示二项式系数$\frac{(p+q)!}{p! q!}$。设 k 为交换环，B 为结合交换单位K-代数。通过 B 的元素指数型的序列，我们可以理解序列 $a = (a_p)_{p \in \mathbf{N}}$，这样 $a_1 = 1$，对于任何 $p, q \in N$，$a_p a_q = ((p, q)) a_{p+q}$。 B 的指数型的所有序列的集合写为$\mathscr{E}(B)$。 a) 验证$\mathscr{E}(B)$上是否存在唯一的K-代数结构，使得

对于任意序列 $a, b \in \mathscr{E}(B)$ 和 $p \in \mathbf{N}$、$\lambda \in k$。 映射 $a \mapsto a$，是代数 $\mathscr{E}(B)$ 中的同态变成 $B$。 b) 假设 $k$ 包含子环同构于 $\mathbf{Q}$。证明对于由 $f(x)_p = \frac{1}{p!} x^p$ 定义的每个 $x \in B$ 序列 $f(x)$，其指数为型。证明$f$ 是$B$ 的同构到$\mathscr{E}(B)$。 c) 令$B'$为结合交换酉$k$代数，并令$h$为$B$到$B'$的同态。对于由 $a'_p = h(a_p)$ 定义的每个 $a \in \mathscr{E}(B)$ 序列 $a'$，对于任何 $p \in \mathbf{N}$ 属于到 $\mathscr{E}(B')$。证明映射$\mathscr{E}(h): a \mapsto a'$是$\mathscr{E}(B)$到$\mathscr{E}(B')$的同态。验证当 $g$ 和 $h$ 是可组合的 $k$-代数同态时，$\mathscr{E}(g \circ h) = \mathscr{E}(g) \circ \mathscr{E}(h)$。 d) 令$E$为$k$模，并且$TS(E)$代数是$E$上的对称张量。证明对于每个 $x \in E$，$(\gamma_p(x))$ 是代数 $TS(E)$ 中指数型的序列（IV，p. 45）。