习题 12, § 5

假设 $K$ 是代数封闭的。令 $g$ 为幂零李$K$-代数。令$\rho$为向量空间$V$上$g$的有限维表示。对于$g$上的每个线性形式$\lambda$，令$V^\lambda$为$\xi \in V$的$V$由……组成的向量子空间，这样，对于所有$x \in g$，$(\rho(x) - \lambda(x)I)^n \xi = 0$ 足够大$n$。

(a) $V^\lambda$ 在$\rho(g)$ 下是稳定的，和的$V^\lambda$ 是直接的。 （使用 § 4 中的习题 22。）

(b) 我们有 $V = \sum V^\lambda$。 （如果每个 $\rho(x)$ 有一个特征值，则由推论 2 至定理 1 得出 $V = V^{\lambda_0}$。 如果$\rho(x_0)$至少有两个不同的特征值，则$V$是两个非平凡的子空间的直和，这两个子空间在$\varphi(g)$下是稳定的。 然后通过归纳对V的维数进行争论。）