Bourbaki

习题 2, § 5

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李群与李代数, III, 383

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

令 G 为类 CrC^r 与r≥2r \geq 2 的群。 (a) 设t∈T(s)(G)t \in \mathscr{T}^{(s)}(G)，t′∈T(s′)(G)t' \in \mathscr{T}^{(s')}(G)。如果s+s′≤rs + s' \leq r，定义t∗t′∈T(s+s′)(G)t * t' \in \mathscr{T}^{(s+s')}(G)如§ 3, no. 1。如果 t 和 t′t' 没有常数项，则 t∗t′t * t' 没有常数项。 G的映射x↦x−1x \mapsto x^{-1}下t的像转化为G表示为t∨t^\vee；然后t∨∈T(s)(G)t^\vee \in \mathscr{T}^{(s)}(G)。如果ff是G上类CrC^r的函数，其中值在Hausdorff多范数空间中，则f∗tf * t表示对于所有x∈Gx \in G由(f∗t)(x)=⟨εx∗t∨,f⟩(f * t)(x) = \langle \varepsilon_x * t^\vee, f \rangle定义的G上的函数；如果s<∞s < \infty，则这个函数是类Cr−sC^{r-s}。显示，如§ 3, no. 4，即f∗(t∗t′)=(f∗t)∗t′f * (t * t') = (f * t) * t'。 (b) 如果t∈Te(G)t \in T_e(G)，则G上的向量域x↦εx∗tx \mapsto \varepsilon_x * t表示为LtL_t。证明，如§ 3, no. 6所示，对于Te(G)T_e(G)中的t,t′t, t'，Lt∗t′=Lt∘Lt′L_{t*t'} = L_t \circ L_{t'}，因此

Lt∗t′−t′∗t=[Lt,Lt′]. L_{t*t'-t'*t} = [L_t, L_{t'}].
因此，t∗t′−t′∗tt * t' - t' * t是Te(G)T_e(G)的元素，我们用[t,t′][t, t']表示。 (c) 使用习题 1 (a)中的记号，如果t∈Te(G)t \in T_e(G)，则
Lt(x)=(D2P(x,0))(t) L_t(x) = (D_2P(x, 0))(t)
xx 足够接近 0。推导出[t,t′]=B(t,t′)−B(t′,t)[t, t'] = B(t, t') - B(t', t)。 (d) 证明Te(G)T_e(G)加上括号(t,t′)↦[t,t′](t, t') \mapsto [t, t']，是一个可范化的李代数。 （要证明雅可比恒等式，请使用 (c)、习题 1 (b) 和代数、章 I, § 6, no. 2 的恒等式 (5)。） （对于这个习题，cf.§ 8，习题6的续集。）

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