习题 7, § 2

如果$X$是任意集合，则令$\mathfrak{P}_0(X)$表示$X$的非空子集的集合。

a) 令$X$为非空拓扑空间。令$\mathfrak{T}_\Omega$（或$\mathfrak{T}_\Phi$）表示$\mathfrak{P}_0(X)$上最粗糙的拓扑，使得对于$X$的每个非空开（或闭）子集$A$，$\mathfrak{P}_0(A)$在$\mathfrak{P}_0(X)$中开（或闭）。证明一般来说这两种拓扑是不具有可比性的，并且如果后者集合带有任一拓扑 $\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\Phi$，则映射 $x \to \{x\}$ 是$X$ 到 $\mathfrak{P}_0(X)$ 的子空间的同胚。

b) 令$D$为$X$的稠密子集。证明对于任一拓扑$\mathfrak{T}_\Omega, \mathfrak{T}_\Phi$，$D$ 的有限非空子集的集合 $\mathfrak{G}(D)$ 在$\mathfrak{P}_0(X)$ 中是稠密的。

c) 如果$\mathfrak{P}_0(X)$按包含排序，则证明拓扑$\mathfrak{T}_\Omega$比$\mathfrak{P}_0(X)$上左边的拓扑更粗糙（§ 1，习题2）；当且仅当$A = \{x\}$时，$A \in \mathfrak{P}_0(X)$在拓扑$\mathfrak{T}_\Omega$中被孤立，其中$x$是$X$的孤立点；并且当且仅当$X$是有限离散空间和$A = X$时，$A \in \mathfrak{P}_0(X)$在拓扑$\mathfrak{T}_\Phi$中被隔离。

d) 证明如果 $\mathfrak{P}_0(X)$ 携带拓扑 $\mathfrak{T}_\Omega$（或 $\mathfrak{T}_\Phi$）并且

拓扑本身就是$\mathfrak{T}_\Omega$（或$\mathfrak{T}_\Phi$）的乘积，那么$\mathfrak{P}_0(X) \times \mathfrak{P}_0(X)$的映射$(M, N) \to M \cup N$到$\mathfrak{P}_0(X)$是连续的。

e) 证明如果$\mathfrak{P}_0(X)$带有拓扑$\mathfrak{T}_\Phi$，则映射$M \to \overline{M}$是连续的。

f) 令$X, Y$为两个拓扑空间，$f : X \to Y$为连续的映射。证明如果$\mathfrak{P}_0(X)$和$\mathfrak{P}_0(Y)$都带有拓扑$\mathfrak{T}_\Omega$，并且都带有拓扑$\mathfrak{T}_\Phi$，那么$\mathfrak{P}_0(X)$到$\mathfrak{P}_0(Y)$的映射$M \to f(M)$是连续的。

g) 令$X, Z$为两个拓扑空间。证明当 $\mathfrak{P}_0(X)$ 携带拓扑 $\mathfrak{T}_\Omega$（或$\mathfrak{T}_\Phi$）时，映射 $f : Z \to \mathfrak{P}_0(X)$ 是连续的，当且仅当所有 $z \in Z$ 中的集合使得$f(z) \cap A \neq \emptyset$ 在 $Z$ 中对于每个闭合都闭合（或开） （分别打开）子集 $A$ $X$。