习题 12, § 1

令 $X$ 为完全正则空间，令 $\beta X$ 为其 Stone-Čech 紧致化。

a) 令$f$为$\beta X$上的有限连续实值函数，使得$f(x) > 0$对于所有$x \in X$，且集合$A = \overline{f}(0) \subset \beta X - X$不为空。然后存在$X$的点的序列$(a_n)$，使得数$\lambda_n = f(a_n) > 0$的序列是严格递减并且使得$\lim_{n \to \infty} \lambda_n = 0$。对于每个整数$n > 0$，令$I_n$为$\mathbf{R}^*$中与中心$\lambda_n$的开区间，使得闭区间$\overline{I}_n$互为不相交的，并令$M_n = \overline{f}(I_n) \cap X$。对于$N$的每个子集$H$，令$M_H$为$M_n$的并，其中$n \in H$；对于$N$上的每个滤波器$\mathfrak{F}$比Fréchet滤波器更细，让$\mathfrak{F}'$表示$X$上的滤波器，其$M_H (H \in \mathfrak{F})$为基。证明$\mathfrak{F}'$是一个完全规则的过滤器（习题8），并且如果$\mathfrak{F}_1, \mathfrak{F}_2$是$N$上的两个不同的超过滤器，每个超过滤器都比Fréchet过滤器更细，那么$X$上没有过滤器，它比每个$\mathfrak{F}_1', \mathfrak{F}_2'$都更细。推导出 $\operatorname{Card}(A) \geq 2^{2^{\operatorname{Card}(N)}}$ [使用习题 8 d) 和章 I, § 4，习题 5]。

b) 假设 $X$ 是无限且离散的。证明$\beta X$在$X$上引起的均匀性是有限划分的均匀性（章II, § 2, no. 2和§ 4，习题12）[使用习题11 b)]。因此证明 $\operatorname{Card}(\beta X) = 2^{2^{\operatorname{Card}(N)}}$ (cf. 章 I, § 4, 习题 5)。证明$X$上存在连续实值函数$f \geq 0$，使得$\overline{f}(0)$不为空且包含在$\beta X - X$中。

c) 在与b)相同的假设下，证明如果$A$是$\beta X$的无限闭子集，则$\operatorname{Card}(A) \geq 2^{2^{\operatorname{Card}(N)}}$。 [首先证明$A$存在无限个点序列$(a_n)$，并且对于$\beta X$中$a_n$的每个$n$邻域$V_n$，$V_n$互为不相交的；推出$a_n$的集合$D$上定义的每个有界实值函数$f$都可以扩展到$\beta X$上的连续函数；为此，考虑在 $X$ 上定义的实值函数 $g$，并在 $X \cap V_n$ 的每个点处等于 $f(a_n)$。因此结论 $\overline{D} \subset A$ 同胚于 $D$ 的 Stone-Čech 紧致化（cf. § 4，习题 17）。]