习题 15, § 2

(a) 令 $E$ 为线性拓扑A-模 (习题 14)。 For a filter base $\mathfrak{B}$ on $E$ consisting of linear varieties to admit a cluster point, it is necessary and sufficient that there exists a convergent filter base $\mathfrak{B}' \supset \mathfrak{B}$ consisting of linear affine varieties. $E$ is said to be linearly compact if it is Hausdorff and every filter base on $E$ consisting of affine linear varieties admits at least one cluster point. 每个阿廷模都与离散的拓扑线性紧致。 Hausdorff 线性拓扑模 $F$ 的每个线性紧致子模都在 $F$ 中闭合。

(b) 如果$E$是线性紧致A-模且$u$是$E$的连续线性映射到Hausdorff线性拓扑A-模$F$，则$u(F)$是$F$的线性紧致子模。

(c) 令$E$为Hausdorff线性拓扑A-模，且$F$为$E$的闭子模。对于$E$是线性紧的，$F$和$E/F$是线性紧的是必要且充分的。

(d) 线性紧致模的每个乘积都是线性紧致的（考虑仿射线性簇的滤波器基由……组成中最大的滤波器基。

(e) 令$(E_\alpha, f_{\alpha\beta})$为线性拓扑模相对于有向索引集合的逆系；假设$f_{\alpha\beta}$是连续的线性映射，并且对于$\alpha \leq \beta$，$f_{\alpha\beta}^{-1}(0)$是$E_\alpha$的线性紧致子模。令$E = \lim_{\leftarrow} E_\alpha$，令$f_\alpha$为典范映射$E \to E_\alpha$；表明，对于所有$\alpha$，$f_\alpha(E) = \bigcap_{\alpha \leq \beta} f_{\alpha\beta}(E_\beta)$（特别是，如果$f_{\alpha\beta}$是满射，$f_\alpha$也是满射）和$f_\alpha^{-1}(0)$是线性紧致的（使用（d）和一般拓扑，章I，附录， no. 2、定理 1)。