习题 12, § 1

(a) 设$A$为积分闭域，$f(X) = \sum_i a_i X^i$和$g(X) = \sum_j b_j X^j$为$A[X]$中的两个多项式；表明，如果$c \in A$使得$(X)g(X)$属于到$Ac$的所有系数，那么所有乘积$a_i b_j$属于到$Ac$（约化对于$A$是估值的情况环）。

(b) 如果$A$是在习题1中定义的环，则给出$A[X]$和元素$c \in A$中次数1的两个多项式$f, g$的例，其中(a)的结论不成立（取$c = T^4 + T^5$）。

(c) 在(a)的假设下，令$a, b, c$为系数off、$g$和$fg$分别生成的$A$的理想：证明$\operatorname{div}(c) = \operatorname{div}(a) + \operatorname{div}(b)$。给出例，其中$\tilde{c} \neq \tilde{a} \tilde{b}$。证明，如果$c$为主，$c = ab$、$a$、$b$可逆；如果进一步$A$是局部环，则$a$和$b$为主。