Bourbaki

习题 20, § 7

标签 05GH，永久不变。引用为 [Bourbaki, Tag 05GH]。

代数, I, 164

Bourbaki marks this one as harder than the rest.

Google 翻译生成的粗略草稿，质量较低。术语依照术语表，但句子可能有误；之后会由仔细的译文取代。

我们保留前面的习题的记号。令 H 为 G 的子群。

(a) 设RHR_H为G的S连接子集T的集合，使得hT∩T=∅hT \cap T = \varnothing如果h∈H,h≠eh \in H, h \neq e。证明RHR_H对于包含关系是归纳的。

(b) 令 Y 为 RHR_H 的极大元素。证明G=⋃h∈HhYG = \bigcup_{h \in H} hY，在其他字 Y 中是系统模H 的右陪集代表。（如果G′=⋃hYG' = \bigcup hY 与G 不同，证明存在x∈G′x \in G' 和y∈Yy \in Y，它们是S 邻居，并推导出Y∪{x}Y \cup \{x\} 属于至RHR_H。）

(c) 设SHS_H为元素h∈Hh \in H的集合，使得Y和hYhY是邻居。它是 H 的对称子集。证明元素 h∈Hh \in H 属于到 SHS_H 当且仅当 h≠eh \neq e 并且存在 y,y′∈Y,s∈Sy, y' \in Y, s \in S 和 ys=hy′ys = hy'。 证明SHS_H生成 H。（如果H′H'是由SHS_H生成的H的子群，证明⋃h∈H′hY\bigcup_{h \in H'} hY是G的连通S分量。）通过§ 4的习题14得到这个结果。

(d) 设XHX_H为SHS_H的子集，使得SHS_H为XHX_H和XH−1X_H^{-1}的不相交的并（证明这样的子集存在）。

证明 XHX_H 是 H 的基本族，特别是 H 是自由群（“Nielsen-Schreier 定理”）。 （将习题 18(c)的标准与SHS_H一起应用于H，注意H的两个元素h,h′h, h'是SHS_H邻居，当且仅当hYhY和h′Yh'Y与G的子集相邻。使用习题 19（d）证明SHS_H满足习题18（c）中的条件（ii）。）

(e) 设 d=(G:H)=Card(Y)d = (G:H) = \mathrm{Card}(Y)。假设 dd 是有限的。表明：

Card(XH)=Card(X)=Card(G)if Card(X) is infiniteCard(XH)=1+d(Card(X)−1)if Card(X) is finite. \begin{aligned} \mathrm{Card}(X_H) &= \mathrm{Card}(X) = \mathrm{Card}(G) & \text{if } \mathrm{Card}(X) \text{ is infinite} \\ \mathrm{Card}(X_H) &= 1 + d(\mathrm{Card}(X) - 1) & \text{if } \mathrm{Card}(X) \text{ is finite}. \end{aligned}

(Let T be a non-empty S-connected finite subset of G and T' (resp. T'') the set of ordered pairs of S-neighbouring elements whose first element (resp. both of whose elements) belongs (resp. belong) to T. Card(T′)=2Card(X)Card(T)\mathrm{Card}(T') = 2\mathrm{Card}(X)\mathrm{Card}(T) and it should be shown by induction on Card(T)\mathrm{Card}(T) that

Card(T′′)=2Card(T)−2. \mathrm{Card}(T'') = 2\mathrm{Card}(T) - 2.

将结果应用于 T=YT = Y，注意 SHS_H 与 T′−T′′T' - T'' 等价。）

解答

尚未写出解答。

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