习题 8, § 8

Let $K'$ be a field, $B$ the ring of a valuation $v$ on $K'$, $G$ a finite group of automorphisms of $K'$, $K$ the subfield of $K'$ consisting of the elements invariant under $G$ and $A = K \cap B$, which is a valuation ring of $K$, corresponding to the valuation $w = v|K$.

(a) $K'$ 的估值，其中扩展 $w$ 为 $v \circ \sigma$，其中$\sigma \in G$（no. 6，推论 1 至命题 6）以及 $K'$ 中$A$的积分闭包$A$为$\sigma . B$的交，其中$\sigma$贯穿$G$。 如果$p(B)$是$A'$的交和最大理想$m(B)$，则$\sigma . p(B) = p(\sigma . B)$。 证明分解群 $G^Z(p(B))$ (章 V, § 2, no. 2) 是$\sigma$ 的$G$ 由……组成的子群，使得$\sigma . B = B$；写出$G^Z = G^Z(p(B))$并用$G^Z$下元素不变量的$K'$由……组成的$K^Z$子域和$B^Z$环表示由$v$在$K^Z$上诱导的估值，等于 $B \cap K^Z$;回想一下，$B^Z$和$A$的剩余类域是相同的，并且最大理想$m(B^Z)$是由$m(A)B^Z$生成的（章V, § 2, no. 2，命题4）。

(b) 设$v^Z$表示$v$至$K^Z$和$\Gamma$中的限制以及$w$和$v^Z$中的$\Gamma^Z$阶群。 证明$\Gamma = \Gamma^Z$。 （令 $G^D \supset G^Z$ 为 $\sigma \in G$ 的 $G$ 由……组成的子群，使得 $\sigma . B$ 依赖于 $B$ (§ 7, no. 2)。 在$G$的阶上与归纳争论。 如果$(G/G^D) > 1$，则令$K''$为$G^D$和$A'' = K'' \cap B$的不变量域；证明$v|K''$的阶群等于$\Gamma$：为此，使用阶中的近似定理（§ 7, no. 2，定理1）来证明，对于所有x \in K"，存在y \in K"使得v(y) = v(x) 且 v(y_i) = 0 对于共轭 y，y 相对于 K，与 y 不同；那么$\mathscr{G}$可以被$\mathscr{G}^D$替代并且可以应用归纳假设。 如果$\mathscr{G}^D = \mathscr{G}$，令B为$\sigma . B$生成的K'的估值环，其中$\sigma \in \mathscr{G}$；令$\overline{K}' = \kappa(B_0)$为其剩余类域、$x : B, \to \overline{K}'$典范同态、$\overline{B} = \pi(B)$对$\overline{K}'$的估值环以及$\bar{v}$相应的对$\overline{K}'$的估值，使得B中的$v = \bar{v} \circ \pi$，因此$\bar{v}$阶群$\overline{\Delta}$是v的阶群A子群；如果$A_1 = \Delta / \overline{\Delta}$和$\overline{\omega} : A \to A_1$是典范同态，则$v_0 = \overline{\omega} \circ v$是K'相应的到B_0的估值，并且在$\mathscr{G}$下不变。 通过求商，自同构 $\overline{\mathscr{G}}$ $\overline{K}'$ 的$\mathscr{G}$ 定义群；令$\mathscr{N}$为典范同态$\mathscr{G} \to \overline{\mathscr{G}}$中的核；证明$\mathscr{N} \subset \mathscr{G}^z$，并推论，如果$\mathscr{N} \neq \{ e \}$，$\mathscr{G}$可以用$\mathscr{G}/\mathscr{N}$代替，归纳假设可以适用。 最后假设$\mathscr{N} = \{ e \}$；令$A_1 = K \cap B$和$w_0$为$v_0$到K的限制；证明$w_0$的阶群是A，$\pi(A_0) = \overline{K}$是$\overline{\mathscr{G}}$不变量的域（cf.no. 1，引理2）；如果$\bar{w}$是$\bar{v}$和$\overline{\Gamma}$的限制到$\overline{K}$，则其阶群，A，与$\Gamma/\overline{\Gamma}$自然同构。 On the other hand, the group $\mathscr{G}^z(p(\overline{B}))$ is the canonical image of $\mathscr{G}^z(p(B))$ in $\overline{\mathscr{G}}$; observe that $\mathscr{G}^D \neq \overline{\mathscr{G}}$ and that the induction hypothesis may therefore be applied to prove that $\overline{\Gamma}$ is equal to the order group $\overline{\Gamma}^z$ of the restriction of $\bar{v}$ to $\overline{K}^z$.

(c) 令 $\mathscr{G}^T = \mathscr{G}^T(p(B))$ 为 $p(B)$ (章 V, § 2, no. 2) 的惯量群，并令 $K^T$ 表示$\mathscr{G}^T$ 和 $B^T$ 环的不变量 K' 由……组成的子域 $u$对$K^T$引起的估值，等于$B \cap K^T$；回想一下，如果 k 和 k' 是 A 和 B 的剩余类域，则 $B^T$ 的剩余类域 $k^T$ 是 k 的准伽罗瓦扩展 $k'$ 中包含的 k 的最大的可分扩张，并且 $\mathscr{G}^z/\mathscr{G}^T$ 规范同构于$k'$（或$k^T$）的k-自同构的群（章V, § 2、定理2和命题5）。设$v^T$为$v$到$K^T$中的限制；证明$v^T$的阶群也等于$\Gamma$（将no. 1的引理2应用到$K^z$的扩张$K^T$）。